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Sobre la Matemática

Rodolfo Bueno, tomado de Rebelión

La matemática es el resultado del desarrollo del pensamiento abstracto de innumerables individuos de muchos pueblos y naciones. Los griegos tuvieron una elevada intuición geométrica y todos los cálculos los realizaron desde esa perspectiva. Roma no aportó un ápice a esta ciencia, tal vez por lo intrincado que resulta hacer cálculos con los números romanos o por lo ocupado que estaban en conquistar el mundo y redactar sus leyes. La contribución matemática del Extremo Oriente, la India y el Asia Media ha llegado a Occidente a través de los árabes.

Al-jebr wál-muqabela, tratado en cuyo título están las reglas fundamentales que permiten transformar las expresiones matemáticas, fue escrito por el astrónomo Mahommed, hijo de musa, nativo de Kharizm, que vivió en el siglo IX; al-jebr da origen a la palabra latina álgebra y hace referencia a las reglas que permiten pasar los miembros de una igualdad de un lado a otro; en cambio, muqabela permite simplificar las expresiones algebraicas, curiosamente esta palabra se perdió en el trasfondo del tiempo; a su vez, al-kharizmi genera la palabra algoritmo, o sea la cadena ordenada de pasos que permite hallar la solución de un problema.

Omar Khayyan, célebre científico de Samarkanda, definió el álgebra como la ciencia para resolver ecuaciones, desarrolló los métodos para calcular las raíces de algunas ecuaciones y la fórmula general del binomio de Newton. En esa lejana región se sistematizó la trigonometría, se recopilaron las tablas trigonométricas del seno y también se crearon, las fracciones decimales.

La tarea de inventar una simbología para operar con los números, aunque fuera iniciada en época de los griegos, fue completada por Tartaglia, Vieta, Descartes, Neper y otros. A partir de entonces, la ciencia europea no sólo alcanzó el nivel de sus predecesores sino que incluso lo sobrepasó con creces. En el Renacimiento, Europa reencontró sus orígenes griegos con la ayuda de las traducciones del árabe al latín de numerosos trabajos de Euclides, Tolomeo, Arquímides, Al-kharizmi, Aristólteles, Platón y otros.

Se puede afirmar que conocer matemática es saber contar, solo que esta habilidad no es fácil de adquirir, pues nuestra fantasía teme volar y se aferra a las cosas tangibles, aparentemente más sencillas. Se debe recalcar que para contar no hay que tener previamente la idea de número sino de cantidad, así por ejemplo, al entrar a un teatro se puede saber de inmediato si hay más asientos que personas. Para ello basta comprobar si hay asientos vacíos y sobrentender que cada espectador ha ocupado un asiento.

A pesar de no conocer el número de asientos ni el de asistentes, la repuesta que se dé sería correcta y se podría establecer con exactitud qué conjunto es más numeroso, el de asientos o el de asistentes al espectáculo. Esto sucede porque se ha realizado una de las operaciones más importantes de la matemática, se ha establecido una correspondencia biunívoca entre los elementos del conjunto de las sillas con la del público.

La idea de número requiere de una abstracción mucho mayor y su grado de complejidad es minimizado por lo acostumbrado que estamos a la misma. Los números arábigos, que proceden de la India, fueron introducidos por los árabes a Europa en el siglo X; tienen la ventaja de ser posicionales, esto es que cada lugar ocupado por un dígito implica cierta unidad decimal. Así, el número 507 significa cinco centenas, más cero decenas y más siete unidades. Este sistema numérico es el único que goza de esta propiedad al mismo tiempo elemental y avanzada.

El hombre logró este grado de perfeccionamiento en el pensamiento abstracto luego un largo deambular por la esfera del conocimiento intuitivo. Se debe notar que cuando se dijo cero decenas, este concepto no le rompe la cabeza a nadie; sin embargo, el número cero es una idea bastante avanzada porque representa la ausencia de toda cantidad; tal vez por eso en Occidente sólo fue introducido en el medievo. Así, por ejemplo, uno puede decir que tiene cero dromedarios, ballenas, lunas y soles en el bolsillo derecho, y esto es cierto con respecto a cualquier cosa de la que se carezca.

Otra idea intuitiva, firmemente arraigada en cada uno de nosotros, es que se puede contar sin límite. Se piensa así pese a que nunca se lo ha hecho, pues nadie se va a dedicar únicamente a esta tarea, muy aburrida por cierto; además, en el transcurso de su vida no lograría contar ni diez mil millones.

También cuando se cuenta se nota que la ley con que se forman números cada vez más grandes es bastante simple, basta con añadir una unidad al último número contado para obtener uno mayor; también se nota que este procedimiento no tiene fin. Así, sin habérselo propuesto, se tiende un puente imperceptible entre lo finito y lo infinito, esto es, se llega intuitivamente a la idea de infinito. Sin embargo se supone que a esta abstracción le debe corresponder algo real, y esto no es así, en la naturaleza no hay ningún conjunto, por grande grande que sea, cuyo número de elementos sea infinito.

Cuentan que alguna vez le preguntaron a un niño cuál era el número más grande que él se podía imaginar, y él había respondido que es el número de gotas de agua que caen sobre la ciudad de New York durante una tormenta. Le hicieron notar que mucho mayor es el número de gotas de agua que caen sobre los Estados Unidos o sobre el mundo entero. Él estuvo de acuerdo y sostuvo que ese sería el mayor número que podría existir, dijo que ese número era tan grande como un uno seguido de cien ceros, y le puso el nombre de google . Lo cierto del caso es que es un número muy grande, mucho mayor que el de átomos que hay en el universo, que a duras penas es igual a un uno seguido de ochenta ceros; sin embargo, por grande que sea, es mucho menos que infinito. No existe ningún número, por grande que sea, que se semeje al infinito.

Todo conjunto posee una cardinalidad que tiene que ver con el número de sus elementos. Si se establece una relación biunívoca entre los elementos de un conjunto cualquiera con los del conjunto de los números enteros, igual a lo que se hizo con los asientos de un teatro y los asistentes a un espectáculo, se llama cardinalidad el último entero que se pone en correspondencia con los elementos del conjunto que se cuenta; se dice entonces que la cardinalidad de este conjunto es finita.

Si la cardinalidad del conjunto contado es la misma que la del conjunto de los números enteros, o sea si a cada elemento del conjunto contado le corresponde sucesivamente un entero y viceversa, se dice que la cardinalidad del conjunto contado es infinita numerable.

Si en el conjunto contado quedan todavía elementos a los que no se le ha asignado un número entero, porque los enteros se han terminado y ya no hay cómo seguir contando, se dice que la cardinalidad de dicho conjunto es infinita innumerable.

Algo curioso se produce en todo conjunto cuya cardinalidad es infinita. En él se cumple una de las conocidas leyes del Kybalion: Si bien es cierto que todo está en el TODO, no lo es menos que TODO está en todas las cosas. El que comprenda esto debidamente, ha adquirido gran conocimiento .

Aunque para cualquiera es claro que el conjunto de los múltiplos de google , esto es la unidad seguida de cien ceros , es parte de los enteros. Se puede establecer una relación biunívoca entre ambos conjuntos, o sea que cada entero n puede ser puesto en correspondencia con el entero ngoogol y viceversa. Puesto que la regla para establecer esta equivalencia es clara, se puede afirmar que hay tantos enteros como múltiplos de google . Asombroso pero cierto. En este caso y otros más, el todo no es mayor que una aparentemente ínfima de sus partes, ni esta pequeña parte suya es menor que el todo, y la cardinalidad de ambos conjuntos, por asombroso que parezca, es la misma.

Se dijo asombroso , porque el número de átomos que hay en el universo es menor a un uno seguido de ochenta ceros y se debería tener tantos universos, igual a la cantidad de granos de arenas que existen en todas las playas del mundo, para que el número de átomos que habría en todos esos universos fuese igual a un google ; sin embargo, hay tantos múltiplos de google como enteros. Repitamos: ¡Increíble pero cierto!

Se llama racional cualquier número que puede ser expresado como una fracción cuyo denominador es distinto de cero. En la época de los griegos se creía que todo número era racional, o sea que podía ser escrito como una fracción. Pero fueron los mismos griegos los más sorprendidos cuando luego de demostrar el teorema de Pitágoras encontraron que existen números como la raíz de dos ( ), por ejemplo, que no gozan de esta propiedad. Llamaron a estos números irracionales, pues supusieron que eran una rareza matemática y sacrificaron una buena cantidad de bueyes en honor a este tan insólito descubrimiento.

Dos mil y pico de años después, el monje Georg Cantor, célebre matemático nacido en San Petersburgo, de quien se dice que sus descubrimientos lo enloquecieron, demostró que el conjunto de los irracionales tiene una cardinalidad infinitamente mayor que la de los racionales, en otras palabras, que en comparación con los racionales, los irracionales son los números más abundantes y no la rareza difícil de hallar, que creyeron los griegos.

Para terminar, la matemática comprueba mediante una demostración, que no se va a hacer en este artículo, que todo idioma es de por sí contradictorio, o sea que no se puede hablar sin correr el riesgo de caer en entredicho, pues así están estructurados los idiomas. Por lo tanto, si se expresa algo que uno piensa no se está exento de caer en la más flagrante contradicción.

Esta afirmación era conocida por los griegos, que plantearon el siguiente problema: El barbero de Creta tiene por ley la obligación de hacer la barba a todo aquel que no se afeite. Se pregunta: ¿El barbero de Creta se afeita a sí mismo o no? Si no lo hace, rompe la ley, pues no afeita a alguien que no se afeita, y si se afeita, también rompe la ley, pues afeita a alguien que si se afeita y sólo debe afeitar a aquellos que no se afeiten. Interesante, ¿no?

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