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El día de Pi, 14 de marzo

Por Adrián Paenza, Tomado de Agenda de Reflexión N° 793

¿Qué es p? O en todo caso, ¿qué es “pi”? ¿Qué quiere decir? ¿Por qué se escribe así? (p).¿Por qué tanta reverencia y fama? Estoy seguro de que usted escuchó hablar muchas veces de p como un número y se debe haber preguntado (y se seguirá preguntando): ¿Qué número? ¿Cómo un número? ¿De qué hablan los que hablan de p? Y habrá seguido: los números que conocemos son los que usamos todos los días: 1, 2, 3, …, 173, un millón, etc. O en todo caso, uno usa los números racionales (también llamados fracciones o quebrados) como ½, ¼, (2/3), (7/8), (5/3), etc, creo que usted me entiende.

¡Esos son los números! Por eso, otra vez insisto con la pregunta: ¿de qué hablan los que hablan de p?

Para poder descubrir qué lo hace tan atractivo, por qué se llama así, por qué es un número, y si es un número -como todos dicen-, ¿por qué no es uno de los números que usamos todos los días? ¿Qué es lo que uno debería saber de p y no sabe? Venga conmigo. Suponga que ahora entramos juntos a un museo en donde p o pi está siendo exhibido como atracción principal.

Lo que quiero hacer con usted es una suerte de visita guiada, de manera tal de poder descubrir y disfrutar de una de las maravillas del mundo, tanto como si estuviéramos juntos ante La Gioconda o el Guernica, o si escucháramos Aída o la Quinta Sinfonía de Beethoven. Acompáñeme.

Para iniciar el trayecto, necesito que consigamos algunos objetos circulares. Por ejemplo, una moneda cualquiera, una lata de bebida gaseosa, un tarro de pintura, un plato, un vaso cilíndrico, una botella de cerveza, etc. Necesito también que tenga una cinta métrica, como las que usan los carpinteros o las modistas. Ahora, haga lo siguiente con cada objeto que consiguió:

a) Mida el diámetro de cada objeto y anote en una tabla los resultados.

b) Tome ahora la cinta métrica y enrósquela alrededor del objeto. Es decir, al hacer esto, usted está midiendo la circunferencia. Luego, anote los resultados.

c) Por último, escriba en un papel los siguientes datos: en la primera columna, el objeto; en la segunda, el diámetro; en la tercera, la circunferencia que usted midió y, por último, en la cuarta columna, anote el siguiente cálculo: haga la cuenta entre lo que midió la circunferencia de ese objeto, dividido por el diámetro. Mire los resultados que tuvo, ¿puede sacar alguna conclusión? ¿Está sorprendida/o? ¿No le llama nada la atención?

Seguramente, usted habrá advertido que hay algo que parece que está presente en todos los cálculos, algo así como una constante. En todo caso, pareciera que hay un número que se repite en todos los casos. ¿Será así?

Antes de sacar más conclusiones, haga ahora un nuevo experimento: busque otros objetos circulares. Mídales el diámetro. Pensando en lo que dedujo más arriba, ¿se atreve a predecir cuánto mide la circunferencia? Acá le pido un favor: no siga leyendo. Es decir, usted haga lo que quiera, pero lo que creo que vale la pena es que haga las pruebas propuestas más arriba, hasta que se sienta satisfecha/o de que entendió.

Por supuesto, más allá de predecir lo que tendría que pasar, la/lo invito, a que después corrobore que lo que usted predijo es cierto, y la única manera posible es midiendo. Una vez que lo haya hecho, podrá deducir si lo que conjeturó es válido o no.

Ahora sí, un paso más: lo maravilloso es que no importa qué objeto circular usted elija, del tamaño de una naranja o el de todo el planeta, siempre, si uno mide la circunferencia y el diámetro y hace el cociente el número que resulta ¡es constante! Este número es el que se llama p.

p ha enloquecido virtualmente a todos los que intentaron abordarlo durante miles de años. Y digo enloquecido en el sentido más fino y atractivo de la palabra. Muchísima gente a lo largo de la historia ha querido domarlo, conocerlo, develarle los misterios… y si bien se conocen de él muchísimas propiedades, todavía queda muchísimo por descubrir.

Es que p tiene una fortaleza tremenda y una ubicuidad asombrosa. Se lo encuentra en los lugares más impensados, que parecen no tener ninguna relación entre sí y es totalmente impredecible. Para empezar, algunos datos.

1) Los primeros números del desarrollo decimal de p son: 3,14159…

2) p es un número irracional (en el sentido de que no es posible obtenerlo como cociente de dos números enteros). Este hecho lo probó Johann Lambert en 1761.

3) p es además, un número trascendente (una clase aún más privilegiada dentro de los irracionales)*. Esto lo demostró Ferdinand Lindemann en 1881.

4) Justamente, el hecho de que p sea trascendente hace imposible lograr la cuadratura del círculo. ¿Qué quiere decir esto? Esto dice que si usted tiene un círculo cualquiera, no es posible construir con regla y compás (no existe, ni podrá existir) un cuadrado cuya área sea igual a la del círculo. Estos dos hechos parecen desconectados, pero quien los junta es la propia matemática.

5) En 1647 aparece por primera vez en la literatura la letra griega p (que sería el equivalente de nuestra letra “p”) representando al número que nos ocupa. La introduce William Oughtred que usa otra letra del mismo alfabeto, nuestra letra “d”, junto con la p: p.d. Oughtred usó esa combinación para indicar el “perímetro-diámetro”. Sin embargo, el primero que usó la letra como símbolo para representar el número 3,14159…, fue William Jones en 1706, en Synopsis Palmariorum Matheseos. Y después, llegó Leonard Euler, el matemático alemán que la hizo popular para siempre.

6) El desarrollo del número p empieza así: 3,14159 26535… Durante muchísimos años, generaciones enteras se entretuvieron buscando la mejor manera de aproximar al número p como cociente de dos números enteros. Las que más trascendieron, y por lo tanto son las más conocidas, son:

i. 22/7 = 3,1428 57142… (que coincide en los primeros dos decimales).

ii. 333/106 = 3,14150 9433,,, (que coincide en los primeros cuatro decimales).

iii. 355/113 = 3,1415929203… (en este caso, coinciden las primeras seis cifras decimales).

7) p tiene infinitas cifras decimales, que no se repiten, no siguen un patrón. A través de la historia, los matemáticos de todas las épocas le dedicaron mucho tiempo a tratar de determinarlas todas (o a predecirlas todas, como uno puede hacer con un número racional), por supuesto, sin éxito.

8) La Biblia** contiene dos referencias al número p y en ambas se menciona que es igual a 3. Sin embargo, los antiguos egipcios, árabes y hebreos solían darle a p (aunque no usaran el nombre) un valor que era un poco mayor que 3.

9) No lo dije hasta acá pero lo más conocido sobre el número involucra la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia de diámetro d

Longitud = p x d

Por otro lado, el área de un círculo de radio r se obtiene como:

p x r²

y el volumen de una esfera de radio r, se obtiene como:

(4/3) p x r³

10) Aunque parezca increíble, hay un día que se conoce con el nombre del “día del número p”. Esto sucede todos los 14 de marzo, ya que usando la notación inglesa, que escribe primero el mes y después el día, y si uno acepta al número 3,14 como aproximación de P, entonces, el 3/14 o el 3-14 significa 14 de marzo. Esto sucede desde el año 1988, cuando el físico Larry Show, conocido como el “Príncipe de Pi”, propuso instaurarlo y fue aceptado por una buena parte del mundo.

11) De todas formas, más allá de la curiosidad por tener la mayor cantidad de cifras decimales posibles, el astrónomo norteamericano Simon Newcomb aseguró que con diez de ellas sería suficiente para calcular la circunferencia de la Tierra con un error menor a un centímetro

12) La idea de que pi estaba ligado a circunferencias y círculos duró hasta el siglo XVII, cuando se empezaron a estudiar otras curvas (hipocicloides, catenarias, braquistócronas, por poner algunos ejemplos) y se descubrió que al calcular las áreas relacionadas con ellas involucraban también al número pi.

13) Y un poco más acá en el tiempo, pi termina su contrato de exclusividad con la geometría y aparece ligada a otras ramas de la matemática: números complejos, teoría de números, probabilidades y estadísticas, series numéricas.

Por último, como uno no se va a pasar midiendo circunferencias y diámetros de objetos circulares para poder calcular p la/lo invito a recorrer un camino que conduce a p, y que no es necesariamente de los más conocidos. Eso sí: como la literatura que hay sobre el número p es tan vasta, cualquier cosa que yo escriba acá será como tirar una gota en el océano: no afectará -virtualmente- en nada el volumen. Pero eso no quiere decir que no nos cambie el volumen a usted y a mí. De hecho, como ambos sabemos poco de él, todo lo nuevo que incorporemos será atractivo y desafiante. Por eso es que la/lo invito a que recorramos juntos este camino. Acá va.

Es un experimento que provee una aproximación de p que es espectacular. El método se conoce con el nombre de “El problema de la Aguja de Buffon”. Fue investigado en 1777 por el naturalista y matemático francés Comte Georges Louis de Buffon (1707-1788). Necesitamos algunos elementos (no muchos): consiga unos fósforos y sáqueles la cabeza o bien consiga palillos o escarbadientes o agujas para coser.

En una hoja de papel, dibuje líneas paralelas (como si fueran renglones), separadas unas de otras al doble de la medida de las agujas o de los escarbadientes. Ahora, deje caer cada aguja sobre la hoja de papel, desde unos 30 centímetros de altura (aproximadamente). Cuente el número de agujas que o bien tocan o bien cruzan una de las líneas que usted dibujó. Y ahora, cuando terminó de soltar todos los agujas, haga el siguiente cálculo: “divida el número de agujas que tiró por la cantidad que o bien tocan o bien cruzan una de las líneas”.

El número que obtenga es una aproximación al número (2/p). Naturalmente, cuantas más agujas intervengan en el experimento, mayor es la precisión con la que le permitirá calcular el valor de p ***.

Notas:

* Un número real se llama trascendente cuando no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. Debido a esto, se sabe que p no puede ser escrito como ninguna combinación finita de números enteros y/o de sus raíces.

** La Biblia contiene dos referencias (Los Reyes 7:23 y Crónicas 4:2). En ambas el valor considerado era de 3 (como indica Wells, en el libro que publicó en 1986, “The Penguin Dictionary of Curious and interesting Numbers”) Tanto los egipcios como los babilonios le daban un valor de 22/7. Los chinos, en ese sentido, ofrecían una mejor aproximación, llegando hasta los seis decimales correctos (tal como aparece en la enciclopedia de Wolfram MathWorld, http://math world.wolfram.com)

*** Para más información sobre Buffon y el método experimental propuesto: http://www.mste.uiuc.edu/ree se/buffon/buffon.html.

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